VMO 2025 | xuanbach's Blog

Ngày thi thứ nhất

Câu 1 (7,0 điểm). Xét đa thức $P(x) = x^4 - x^2 + x$ .

a) Chứng minh rằng với mỗi số dương $a$ , đa thức $P(x)-a$ có duy nhất một nghiệm dương.

b) Xét dãy số $(a_n)$ được xác định bởi $a_1 = \frac{1}{3}$ và với mọi $n \ge 1$ , $a_{n+1}$ là nghiệm dương của đa thức $P(x)-a_n$ . Chứng minh rằng dãy $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Lời giải

a) Đặt $Q(x)=P(x)-a$ . Suy ra $Q'(x)=4x^3-3x^2+1$ . Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có

4x^3-3x^2+1=2x^3+2x^3+\frac{1}{4}-3x^2+\frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}, \forall x > 0.

Vì vậy hàm $Q(x)$ tăng ngặt trên $(0, \infty)$ . Do $Q(0)=-a < 0$ và hệ số cao nhất của $Q(x)$ bằng $1$ là số dương nên $Q(x)$ có nghiệm duy nhất trên khoảng $(0, \infty)$ .

b) Đặt $f_n(x) = P(x) - a_n$ . Theo câu a) ta có $a_{n+1}$ là nghiệm dương duy nhất của $f_n(x)$ . Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng $a_n < a_{n+1} < 1$ , với mọi $n \ge 1$ .

Ta có $a_1 = \frac{1}{3} < 1$ . Giả sử ta đã chứng minh được $a_n < 1$ . Khi đó $f_n(a_n) = a_n^4 - a_n^3 < 0$ , và $f_n(1) = 1-a_n > 0$ . Theo chứng minh trên $f_n(x)$ là hàm tăng ngặt trên $(0, \infty)$ , nên từ điều kiện $f_n(a_{n+1}) = 0$ suy ra $a_n < a_{n+1} < 1$ . Khẳng định được suy ra theo nguyên lý quy nạp.

Dãy $(a_n)$ tăng và bị chặn trên bởi 1, do đó tồn tại giới hạn $\lim_{n \to \infty} a_n$ . Đặt giới hạn $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ . Theo cách xây dựng dãy ta có $a_{n+1}^4 - a_{n+1} + a_n = 0$ . Chuyển qua giới hạn khi $n \to \infty$ ta nhận được $L^4 - L^3 = 0$ . Rõ ràng do dãy $(a_n)$ tăng ngặt nên $L \ge a_1 = \frac{1}{3}$ . Suy ra $L=1$ .

Kết luận: $\lim_{n \to \infty} a_n = 1$ .

Câu 2 (7,0 điểm). Với mỗi số nguyên $n \ge 0$ , đặt $u_n=(2+\sqrt{5})^n+(2-\sqrt{5})^n$

a) Chứng minh rằng $u_n$ là số nguyên dương với mọi $n \ge 0$ . Khi $n$ thay đổi, số dư của $u_n$ khi chia cho $24$ lớn nhất là bao nhiêu?

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ với $a,b$ nhỏ hơn $500$ sao cho với mọi $n$ lẻ ta có $u_n \equiv a^n-b^n \pmod {1111}$ .

Lời giải

Câu 5 (7,0 điểm). Cho một bảng ô vuông $3k \times 3k$ ( $k$ là số nguyên dương), các ô của bảng được đánh toạ độ theo cột và hàng: ô $(i;j)$ nằm trên cột thứ $i$ từ trái qua phải và trên hàng thứ $j$ từ dưới lên trên. Người ta muốn đặt $4k$ viên bi vào các ô của bảng, mỗi ô có không quá một viên, thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

Mỗi hàng và mỗi cột đều có ít nhất một viên bi;
Mỗi viên bi nằm cùng hàng hoặc cùng cột với ít nhất một viên bi khác.

a) Xét $k=1$ . Có bao nhiêu cách đặt $4$ viên bi vào bảng thoả mãn các điều kiện trên? (Hai cách đặt bi được coi là khác nhau nếu có một ô $(i;j)$ có bi trong một cách đặt nhưng không có bi trong cách còn lại.)

b) Xét $k \ge 1$ tổng quát. Xác định số tự nhiên $N$ lớn nhất sao cho với mọi cách đánh dấu $N$ ô phân biệt trên bảng, luôn tồn tại một cách đặt $4k$ viên bi thoả mãn các điều kiện trên mà không có viên bi nào đặt ở trong $N$ ô đã được đánh dấu.